Trazado de una curva dada su ecuación polar.

Trazado de una curva dada su
ecuación polar.

Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado polar, que se construye de la siguiente forma:

A partir de un punto que es el polo, se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del ángulo serán para los valores negativos de las distancias, como se muestra en la figura anterior.

Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0° y 360°, haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar.

EJEMPLO 1. Trazar la curva cuya ecuación polar es:

SOLUCIÓN

Se hacen las operaciones para cada valor de θ según la ecuación. Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación

La figura siguiente muestra los resultados gráficos obtenidos

EJEMPLO 2

Trazar la curva llamada cardiode, cuya ecuación polar es:

SOLUCIÓN

Para la efectuar las operaciones haremos a = 4. Procediendo en forma ordenada, asignando los valores al ángulo θ, partiendo de 00 y aumentando de 300 en 300. Efectuando las operaciones indicadas por la ecuación dada para cada uno de los valores del ángulo.

De esta manera se tiene la siguiente tabla de tabulación.

EJEMPLO 3. Un segmento de longitud constante a se desplaza con sus extremos sobre los lados de un ángulo recto. Del vértice de este ángulo se traza la perpendicular del segmento dado. Encontrar el lugar geométrico de las bases de estas perpendiculares.

SOLUCIÓN

Según el enunciado
tenemos la figura adjunta:
La ecuación del lugar
geométrico dado puede
establecerse fácilmente en
un sistema de coordenadas
polares como se puede ver
en la figura adjunta.

Sea la longitud,

y M en un punto cualquiera del lugar geométrico.

Del triangulo 0MA se tiene:

Del triangulo 0AB se tiene: 0A = AB sen θ = 2 a sen θ. Por lo tanto, sustituyendo en (1):

r = 2 a sen θ cos θ

Luego:

Ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadas polares

Ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadas polares

Hemos visto que la elipse, la hipérbola y la parábola tienen una propiedad común. Son el lugar  geométrico de los puntos para los cuales la relación entre su distancia a un punto F (foco) y su distancia a una recta dada (directriz) es igual a la excentricidad de la curva como se ve en la figura adjunta:

Dicha propiedad común permite deducir, para las tres curvas una ecuación general en el sistema de coordenadas polares.

Según la figura:

Considerando, según la figura anterior, que F es el foco de la izquierda de la elipse, o el foco de la parábola, o el foco de la rama derecha de la hipérbola.

Ahora tomando el foco F como el polo de un sistema polar de coordenadas, y sea N el punto de intersección de la directriz con la recta FN que pasa por el punto F y es perpendicular a la directriz, como se ve en la figura adjunta:

En la figura tenemos, como eje polar el rayo F X y su prolongación F N. Sea M0 el punto de intersección de la perpendicular al eje polar en el punto F con la curva.

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

Para la solución de ciertos problemas es necesario saber como pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por ello deduciremos las relaciones necesarias.

De la figura anterior, se tiene el triángulo rectángulo 0PD y de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas, obtenemos:

Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de una

ecuación cartesiana en polar y viceversa.

Ahora, de acuerdo al teorema de Pitágoras según la misma figura nos queda:

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.

Ejercicios

1. Dadas las coordenadas cartesianas del punto, determinar las coordenadas

polares del mismo.

SOLUCIÓN

Se sabe que , sustituyendo las coordenadas conocidas del punto tenemos:

Por otra parte se tiene que:

                                       

Por lo que las coordenadas polares de P son:

Coordenadas Polares Generalizadas

Coordenadas Polares Generalizadas

En la situación de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasa
por el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relación al punto 0.

Como se observa en la figura siguiente:

En este caso se toma por ángulo polar de los puntos M y N el mismo ángulo, y r, para el
punto M, se considerara positivo y para el punto N será negativo.

Las coordenadas θ y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N.

EJEMPLO 3. Determinar las
coordenadas polares
de los puntos que se
indican en la figura:

SOLUCIÓN

Como el radio vector r es positivo cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo y negativo cuando se mide sobre la prolongación de este, tendremos que: De acuerdo a la figura, para los puntos M, N, P y Q pueden tomarse como coordenadas polares

¡Entrena la mente! (y distráete un rato)

Para que descanses de los estudios. Un sencillo pero entretenido juego de domino. Disfrútalo!

Qué son las Coordenadas Polares?

EL SISTEMA POLAR

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las

coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si

hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte

desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de

definir un punto.

Este sistema consiste en señalar un

punto que es el origen de las coordenadas y a

partir de él se señala un segmento de recta

horizontal denominado línea inicial o eje polar,

en el cual se marca la escala que se desee,

para medir distancias. Una vez hecho esto, para

indicar la posición de un punto cualquiera del

plano, trazamos la recta desde el punto en

cuestión hasta el origen del sistema y se mide

el ángulo por el eje polar y la recta. La medida

del ángulo y de la distancia del punto al

origen son las coordenadas polares del

punto.

Lo especificado lo representamos en la

figura :

1. Coordenadas polares de un punto

Consideremos sobre un plano, un rayo

(0x) con origen en el punto 0. Llamaremos eje

polar al rayo; polo al punto 0, El eje polar se

representara por 0x.

Sea M un punto arbitrario del plano, como

se observa en la figura adjunta. La longitud del

segmento 0M, se llamará longitud del radio

polar del punto M y se representará por r. El

ángulo que deba rotarse el eje polar, en el sentido opuesto a las manecillas del reloj, para hacerlo coincidir con el radio polar, 0M se llamará

ángulo polar del punto M y se representará por θ. Si el punto M coincide con el polo, r = 0 y el

ángulo θ no tendrá un valor determinado.

El par de números r y θ reciben el

nombre de coordenadas polares del

punto M. Lo denotamos como:

M ( r, θ )

El radio vector es positivo.

EJEMPLO 1. Construir los puntos cuyas

coordenadas polares son:

 

SOLUCIÓN
Por lo expuesto, los datos los
llevamos a la figura adjunta.







EJEMPLO 2. Determinar las coordenadas
polares de las vértices de
un hexágono regular A, B, C,
D, E, y F, tomando como
polo al punto 0, centro del
hexágono y como eje polar
al rayo OC , según la figura.

SOLUCIÓN

Tomando