Trazado de una curva dada su ecuación polar.

Trazado de una curva dada su
ecuación polar.

Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado polar, que se construye de la siguiente forma:

A partir de un punto que es el polo, se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del ángulo serán para los valores negativos de las distancias, como se muestra en la figura anterior.

Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0° y 360°, haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar.

EJEMPLO 1. Trazar la curva cuya ecuación polar es:

SOLUCIÓN

Se hacen las operaciones para cada valor de θ según la ecuación. Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación

La figura siguiente muestra los resultados gráficos obtenidos

EJEMPLO 2

Trazar la curva llamada cardiode, cuya ecuación polar es:

SOLUCIÓN

Para la efectuar las operaciones haremos a = 4. Procediendo en forma ordenada, asignando los valores al ángulo θ, partiendo de 00 y aumentando de 300 en 300. Efectuando las operaciones indicadas por la ecuación dada para cada uno de los valores del ángulo.

De esta manera se tiene la siguiente tabla de tabulación.

EJEMPLO 3. Un segmento de longitud constante a se desplaza con sus extremos sobre los lados de un ángulo recto. Del vértice de este ángulo se traza la perpendicular del segmento dado. Encontrar el lugar geométrico de las bases de estas perpendiculares.

SOLUCIÓN

Según el enunciado
tenemos la figura adjunta:
La ecuación del lugar
geométrico dado puede
establecerse fácilmente en
un sistema de coordenadas
polares como se puede ver
en la figura adjunta.

Sea la longitud,

y M en un punto cualquiera del lugar geométrico.

Del triangulo 0MA se tiene:

Del triangulo 0AB se tiene: 0A = AB sen θ = 2 a sen θ. Por lo tanto, sustituyendo en (1):

r = 2 a sen θ cos θ

Luego: